هندسه و نقش واسطه اش در عالم خیال

تاريخ تحول علم هندسه و پا به پاي آن علم فيزيك و شناخت ما از عالم سرگذشت و داستان در خور اعتنائي دارد كه شايد درس هائي برايمان داشته باشد. مبدا و علل پيدايش و تحول و تكامل علومي مانند هندسه – يا به تعبير عام رياضيات – و فيزيك موضوع بحث ما نيست ؛ آنچه در اين نوشته سعي در بيان آن دارم ؛ نقش تخيل در كشف ابعاد جديدي است كه در عالم واقعي و مادي مستقيما با آن سر و كار نداريم. جالب اينكه علومي مانند هندسه و فيزيك هر چند به تبيين قوانين و ارتباط بين اشيا و پديده هاي مادي مي پردازند اما در عين حال ابزاري براي به فعليت در آوردن قواي تخيل ذهن هاي آماده و تيز بين نيز هستند و از راه پروردن همين تخيلات خلاق است كه ذهن انسان به كشف حقايق و معاني جديد در چهارچوب جهان مادي نائل مي شود. اين كه اين معاني جديد دراين اذهان مستعد خلق مي شوند و يا از طريق اتصال ذهن به عالم معني به ذهن منتقل مي شوند دو ديد گاه مختلف است و باور به هر يك مسيري جدا را فرا روي انسان قرار مي دهد كه در اينجا قصد پرداختن بدان را ندارم و بلكه از عهده و توان من خارج است.
صد افسوس كه در نظام آموزشي ما به تاريخ تكامل علوم بهائي چنداني داده نشده است و اگر در كتب درسي نيم نگاهي بدان شده ؛ در حد معرفي دانشمندان موقوف مانده است و به زمينه ها و علل پيدايش نظريه ها و روش هاي جديد علمي كمتر پرداخته اند.
حاكميت بلا منازع هندسه ي اقليدسي در تاريخ علم با نوع نگاهي كه انسان انديشمند با جهان پيرامون خود داشت ؛  تا دوران گاليله و نيوتن نيز ادامه داشت. پيدايش حساب ديفرانسيل و انتگرال در تعبير و تفسير رياضي  ِ فيزيك كلاسك نيوتني نقش عمده اي ايفا كرد و به نظر مي رسيد در قالب آن بخوبي مي توان به توضيح علل و چگونگي حركت و كنش نيروهائي كه اجسام به يكديگر وارد مي كنند؛ پرداخت.
به موازات پيشرفت علم فيزيك و كشف ميدانهاي الكتريكي و مغناطيسي و همچنين فيزيك نور و دريافت ماهيت ذره اي و موجي آن و آزمايشات گسترده اي كه در قرن نوزدهم و اوايل قرن بيستم روي داد؛ نظريه ها و مدل هاي جديد رياضي و هندسي هم زاده مي شد. بعنوان مثال نيوتن براي بيان رياضي «قوانين حركت» خود مدل و زبان جديدي در رياضيات ابداع كرد كه به حساب ديفرانسيل موسوم است.
يكي از شگفتيهاي تاريخ تكامل هندسه ؛ تولد هندسه ي نا اقليدسي است. از آنجا كه هندسه ي اقليدسي با نحوه ي ادراك حواس ما از جهان مادي هماهنگ است ؛ تا قرنها پس از پيدايش آن ؛ كسي در پي تشكيك در اصول موضوعه ي آن بر نيامد هر چند في الواقع بودند كساني كه در اثبات اصل فوق تلاشهاي كرده بودند و ناكام مانده بودند. پايه گذاري هندسه نا اقليدسي توسط افرادي چون لباچفسكي در اوايل قرن نوزدهم نشان داد كه با تشكيك در اين اصل موضوعه هندسه اقليدسي كه:
«از يك نقطه خارج يك خط، يك خط و و تنها يك خط مي توان موازي با خط مفروض رسم كرد.»
هنوز مي توان يك نظام سازگار هندسي داشت ؛ بطوريكه اصول موضوعه ي نظام جديد را نقض نكند و علاوه بر اين ؛ هندسه اقليدسي حالت خاصي از هندسه نا اقليدسي در شرايط خاص باشد. پايه گذاري هندسه هاي هذلولي و بيضوي بر اساس نقيض هاي گزاره ي فوق ( يعني امكان ترسيم بيش از يك خط موازي و يا عدم امكان ترسيم خطي موازي  با خطي مفروض از نقطه اي نا واقع بر روي آن)؛ در روزگار خود چنان انتزاعي و غير كاربردي بود كه  انسان را به حيرت مي اندازد. در فضاي هندسه ي نا اقليدسي ؛ ديگر لزومي ندارد مجموع زواياي مثلث 180 درجه باشد ؛ بلكه اين مجموع مي تواند بيشتر و يا كمتر از 180 درجه باشد!
گوس و ريمان نيز به توسعه ي اين هندسه ي نا اقليدسي پرداختند و هندسه اي زاده شد با نقض كردن آن اصل معروف هندسه ي اقليدسي. آيا عالم طبيعت به تعريف چنين هندسه ي نا معقولي كه جز در عالم انتزاع رياضي  محلي از اعراب نداشت؛ نيازي داشت؟ جالب است بدانيم فقط سالها بعد پس از آنكه انيشتن مسئله انحناي« فضا – زمان » را در نظريه ي نسبيت عام خود با استفاده از اين هندسه ارائه كرد؛ در فيزيك نقش كاربردي يافت.
خلق هندسه ی نا اقلیدسی بدون شک در تصورانحنای فضا- زمان در ذهن خیال پرداز نقش مهمی ایفا کرده است و این نقش را نباید فقط در حل معادلاتی که به نظریه ی نسبیت عام منجر شد ؛ محدود ساخت. تصور چنین فضایی وجود اجرام باعث انحنا در آن می شود به نوعی وامدار هندسه ی نا اقلیدسی است.
از مدلها ي رياضي و هندسي و نظريه هاي علمي ؛ انتظار نمي رود كه به اثبات مسائلي بپردازند كه خارج از حوزه ي اعتبار آنهاست. اما علم و آگاهي هر چه بيشتر به چنين مدل ها و ابزاري امكان و فضاي مساعد تري را براي پرواز دادن مرغ خیال انسان فراهم مي كنند. همين مرغ است كه چون به پرواز در آيد از فضاي مالوف شناخته شده ي پيشين بيرون می رود و در باز گشت چون هد هد سليمان حقايقي را از سرزمين ها و جهانهاي ناشناخته و همجوار برايمان به ارمغان مي آورد. نقطه ي اتصال علوم تجربي و نظري ؛ ذهن انسان است و قوه تخيل و تعقل او. و همين قواست كه همزمان اتصالش را به ابعاد ديگر وجود و عالم امكان؛ ممكن مي كند و نه حواس ظاهري اش در عالم ممكن.
رياضي به واسطه ي طبيعت و ذات انتزاعي اش بيشتر با قوه ي تعقل انسان ارتباط دارد و هندسه از آنجا كه با صورت ها و مكان ها مرتبط است ؛ بيشتر در مختصات عالم خيال مي گنجد كه آنهم صورت پذير است و بنابر این دارای هندسه ی خاص خود. اگر ماده به آنصورت که ما می شناسیم و آنرا درک می کنیم در عالم خیال وحود ندارد؛ اما صورت و به تبع آن هندسه در چنین فضائی حضور پر قدرتی دارد. بنابر اين همان نقش واسطه اي كه قوه ي خيال براي ايجاد نظريه اي جديد ايفا مي كند و در نهايت به واقعيت ملموس مادي تسري مي يابد؛ هندسه بين مفاهيم رياضي و فيزيكي ايفا مي كند.
 اگر بپذيريم كه قوه ي تخيل ذهن انسان ؛ نقش واسطه را بين عالم تجرد ( معنا) و عالم تعين (ظاهر) ايفا مي كند؛ بيش از پيش به نقش تعيين كننده اش در انتقال معاني از عالم انتزاع و معنا به عالم صورت و ماده پي خواهيم برد. آن وجهي از علوم رياضي كه نماينده ي قطعيت احكام آن است ؛ مي تواند تجلي قطعيت و يگانگي اي باشد كه در عالم معني امري مسلم و اثبات شده  و بلكه قابل مشاهده است  و وجهي از رياضي كه با احتمالات سر و كار دارد نماينده ي  عدم قطعيت و تكثري است كه در عالم از آن ذات يگاته متجلي شده است.
در يك كلام ؛ از نگاه من هندسه بستراتصال رياضي و فيزيك است و تصويري از واقعيت موجود را در ذهن متبادر مي كند و بالعكس.

هندسه؛ تخيل؛ شهود و تجلي ابعاد جديد وجود

ادوين ابوت Edwin Abbott نويسنده ي انگليسي ؛ داستانی به نام Flatland دارد كه درسال 1884 منتشر شده است. راوی داستان مربعي از مخلوقات جهاني دو بعدي و مسطح است. وی در این داستان عجیب تجربيات ساكنين اين جهان دو بعدي و شيوه ي ادراكشان از يكديگررا توصیف می کند. واينكه چگونه اهالی این چهان دو بعدی يكديكر را بصورت پاره خط هائي كه شدت روشني در طول شان تغيير مي كند ادراک می کنند (فصل 6). بديهي است ساكنين يك فضاي دو بعدي وقتي به وجوه مختلف سطوح يكديگر نگاه كنند؛ به جز پاره خطي نمي بينند. اگر از ديدگاه هاي اجتماعي كه نويسنده سعي كرده در چنين فضائي ترسيم كندبگذريم ؛ ايده اي كه بخوبي در اين رمان پرداخته شده ؛ عدم آگاهي ساكنين چنين جهاني نسبت به وجود بعد سوم در فضا است. جهان آنها و افق ديدشان محدود به دو بعد است ودر جهاني مسطح خلاصه مي شود و تصورو ادراكشان از مخلوقات و موجودات دو بعدي جهانشان نيز در يك بعد خلاصه مي شود. (شکل1 (
روزي در آستانه سال 2000 و پس از مباحثه اي كه مربع داستان با نوه اش داشته ؛درتعبير مفهوم توان سوم – كه هم ارز حجم است – مخالفت مي كند و او را احمق مي انگارد كه چطور توانسته است چنين چيزي را كه ما به ازاي عيني در جهان دو بعدي آنهاندارد به خيال خود راه دهد. همان روز به اتفاق همسرش صدائي را از ماورا مي شنوندكه متعلق به كره اي از جهان سه بعدي بوده و براي آگاه كردن وي از وجود بعد سوم براو نازل شده بوده است(فصل 15). الباقي داستان به ماجراي تلاش كره براي تفهيم بعدسوم به مربع ؛ به معراج رفتن مربع در جهان سه بعدي و تلاش او براي تفهيم فضاي سه بعدي پس از آشنائي با بعد سوم به نوه اش و سایر ساکنین جهان دو بعدی ؛ مي گذرد که البته با ناباوری آنها رو برو می شود.
قبل از آمدن كره ؛ مربع در خواب روياي پادشاه سرزمين يك بعديLineland king را ديده بود. در اين خواب ؛ مربع دلش به حال اين پادشاه يك بعدي سوخته بود كه چطور خود را پادشاه مي داند و از درك بعد دوم و سطح عاجز و غافل است. ماجراي اين رويا در فصول 13 و 14 آمده است و طي آن مربع تلاش مي كند كه به پادشاه جهان تك بعدي بفهماند كه چرا از درك واقيت وجودي مربع عاجز است و تجلي مربع براي جهان تك بعدي او نه تنها پك پاره خط نيست ؛ بلكه فقط به صورت يك نقطه است !

پادشاه سرزمين تك بعدي؛ فقط قادر به درك يك مقطع از مربع است كه يك خط است وتجلي اين خط در دنياي تك بعدي براي پادشاه؛ فقط بصورت يك نقطه است .(شکل2 (

كره وقتي در جهان دو بعدي به مربع نازل مي شود ؛ بصورت دايره قطري اش بر او تجلي ميكند. او به مربع مي گويد كه دايره اي را كه مربع بصورت يك پاره خط مي بيند ؛ فقط يك مقطع از كل كره است . او به مربع مي گويد كه چون تو قادر به درك بعد سوم نيستي؛ فقط مي تواني مقاطعي از من را درك كني. همانطور كه در روياي تو؛ پادشاه جهان تك بعدي نمي توانست به حقيقت وجود دو بعدي تو آگاه گردد. با بالا رفتن و فاصله گرفتن كره از جهان سه بعدي؛ مقطع دايره اي كره كه در جهان دو بعدي متجلي شده و قابل رويت براي مربع بود؛ رفته رفته كوچك و كوچكتر شده تا به يك نقطه در لحظه مماس شدن به صفحه جهان دو بعدی؛ تنزل مي كند. (شکل3 (

گيرائي داستان نه به لحاظ موضوع آن بلكه به خاطر تجسم خلاق نويسنده و توسعه قوه خيال اوست. اتفاقا سالها پس از انتشار آن و بعد از ارائه ي نظريه نسبيت خاص وابداع بعد چهارم توسط او ؛ ارزش واقعي اين داستان و تمثيل بكار رفته در آن براي جهانيان بيش از پيش آشكار شد . چرا كه تاقبل از نسبيت ؛ ما در جهاني سه بعدي زندگي مي كرديم و انيشتين چشممان را بروي بعد چهارم – و البته تبعات آن – گشود.
در این داستان فضای آشنای هندسه ی اقلیدسی ؛ بهانه ای است تا نویسنده بعضی انتقادات را به شرایط اجتماعی زمان حویش ابراز دارد و همچنین به پیش داوری هائی که به انکار وجود واقیعیات خارج از حوزه حواس ما می انجامد ؛ معترض گردد. به تعبیر من تجلی حقیقت به ظرفیت و استعداد مخلوقات بستگی تام دارد و امری نسبی است و نه مطلق. به عبارت دیگر هر چند حقیقت امر یکی بیش نباشد اما وقتی در قالب صورت و یا صور خیال و درک خلایق می نشیند به تعداد مخلوقات و ادراکشان متکثر می شود.امان از دست نسبیت و تشبیه که ساحت منزه حقیقت را می آلاید!متن کامل کتاب از پیوند زیر قابل دریافت است.
https://github.com/Ivesvdf/flatland/blob/master/oneside_a4.pdf?raw=true